동적 계획법(Dynamic Programming)

Dynamic Programming(동적 계획법)

• 다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상하는 방법
• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 함
• 다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운, 보텀업)으로 구성됨

 

Dynamic Programming의 조건

1. 최적 부분 구조(Optimal Substructure)

• 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.

2. 중복되는 부분 문제(Overlapping Subproblem) 

• 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.

 

피보나치수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다.

 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89... 

 

피보나치수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같다.

(점화식: 인접한 항들 사이의 관계식)

F0​=0, F1​=1, Fn+2​=Fn+1​+Fn​ 

 

#피보나치 수열 단순 재귀 코드
def fibo(x):
	if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    return fibo(x-1) + fibo(x-2)

시간 복잡도는 O(2**N)이다.

 

따라서 N이 조금만 커져도 연산해야 하는 개수가 엄청 늘어나 시간 복잡도가 매우 커지므로 DP를 사용하여 푸는 것이 좋다.

 

Topdown(하향식, 메모이제이션) & BottomUp(상향식)

• 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식이다.
• 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다
• 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미한다.
• 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념이 아니다.
• 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.

 

메모이제이션(Memoization)

• 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나이다.
• 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법이다.
• 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.
• 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.

 

 

피보나치 수열 탑다운 방식 with Python

#한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
	#종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] !=0:
    	return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

 

피보나치 수열 바텀업 방식 with Python

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수 반복문으로 구현
for i in range(3,n+1):
	d[i] = d[i-1] + d[i-2]